In dieser Woche beginnen wir die Ergänzungsvorlesung „Lineare Algebra“; bitte beachtet die Hinweise zu dieser Veranstaltung.
Wir starten mit einer Übung, in der wir das Kommutativgesetz für Vektorräume aus den anderen Rechenregeln herleiten – eigentlich müssten wir das Kommutativgesetz daher nicht eigens fordern.
Einige Ergänzungen zum Begriff des Körpers stehen auch auf dem Programm. Insbesondere zeigen wir, dass ein Körper als Vektorraum über jedem seiner Unterkörper aufgefasst werden kann.
Ausgehend von einem Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 lernen wir dann einige Beweisverfahren wie Widerspruchsbeweise, Beweis durch Kontraposition und das Prinzip der vollständigen Induktion kennen, die im Arsenal eines Studierenden der Mathematik nicht fehlen darf.
Seite 01 bis 03: Wir leiten das Kommutativgesetz für die Vektorraumaddition aus den anderen Rechenregeln eines Vektorraums her. In der;Hausaufgabe LA05A (Seite 03) geht es um den Nachweis von weiteren Rechenregeln in Vektorräumen.
Seite 04: Wir lernen eine Körper kennen, den man als minimale Erweiterung der rationalen Zahlen mit der Quadratwurzel aus 2 auffassen kann.
Seite 05: Der Begriff des Unterkörpers eines Vektorraums ist abalog zu dem des Untervektorraums. Wir lernen die in der Algebra beliebte Betrachtungsweise kennen, einen Körper als Vektorraum über einem seiner Unterkörper aufzufassen. Später werden wir noch an einigen Stellen Gelegenheit haben, die Vorteile einer solchen Betrachtung zu erfahren.
Seite 06: Die bekannte Tatsache, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist, kann man mit Hilfe eines Widerspruchbeweises belegen.
Seite 07 bis 09: Ein Exkurs in die Welt der Logik beschäftigt sich vor allem mit Aussagen und logischen Verknüpfungen von Aussagen. Auf dem Weg sehen wir das erste Beispiel eines Beweis durch Kontraposition.
Seite 10+11: Auch das Prinzip der vollständigen Induktion gehört zum Handwerkskasten eines angehenden Mathematikers.
Seite 12: In der Hausaufgabe LA05B kann sowohl der Beweis durch Kontraposition als auch die vollständige Induktion auf zwei kleine Probleme angewendet werden.