Nachdem wir mittlerweile bereits zwei Rechenbereiche (Körper und Vektorräume) kennengelernt haben, stehen in dieser Woche zwei weitere im Mittelpunkt. Zum einen sind dies die sogenannten Ringe, in denen es Addition und Multiplikation als Rechenarten gibt, die aber einige der Forderungen an einen Körper nicht erfüllen müssen. Macht man einen Vektorraum durch die Hinzunahme einer geeigneten Multiplikation auch zu einem Ring, so spricht man von einer Algebra.
Vor allen die Endomorphismenalgeba eines Vektorraums (ein Endomorphismus ist eine lineare Selbstabbildung eines Vektorraums) und damit auch der Kn x n bieten uns Beispiele für solche Algebren. In einem Exkurs werden wir lernen, wie und warum man hierdurch gewisse „Erweiterungskörper“ der rationalen Zahlen durch Matrizen beschreiben kann.
Seite 01-03: Der Begriff eines Rings wird eingeführt und mit einigen Beispielen unterfüttert.
Seite 04-05: Strukturerhaltende Abbildungen spielen eine große Rolle in der Mathematik, wobei wir mit den linearen Abbildungen bereits einen Vertreter kennengelernt haben. Wir systematisieren die Namensgebung ein wenig und führen die Begriffe Homomorphismus, Endomorphismus, Isomorphismus und Automorphismus ein. Anhand des Zählens machen wir uns klar, warum Isomorphismen wichtig sind.
Seite 06-07: Nach Klärung der Begriffe können wir die Menge der Endomorphismen eines Vektorraums mit einer Ringstruktur ausstatten. Der Beweis, dass auch alle Rechenregeln für einen Ring erfüllt sind, wird zum großen Teil in die Hausaufgabe ME08a auf Seite 07 verlagert.
Seite 08: Das Ziel auf dieser Folie ist der Nachweis, dass die Umkehrabbildung eines bijektiven Ringhomomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist. Für Vektorräume haben wir eine entsprechende Notiz bereits eingesehen; hier geht es sehr ähnlich.
Seite 09: Wir übertragen die auf dem Endomorphismenring von Kn auf den Raum Kn x n der Matrizen und sehen ein, dass wir hierdurch die Addition und Multiplikation quadratischer Matrizen erhalten – wir hätten die Rechenoperationen für Matrizen also nicht besser aussuchen können.
Seite 10-11: Eine K-Algebra ist ein Vektorraum, der durch Hinzunahme einer geeigneten Multiplikation zusätzlich ein Ring ist. Wir überlegen uns, dass der End(Kn) und Kn x n nicht nur als Ringe, sondern sogar als K-Algebren isomorph sind. Einzelheiten sind Inhalt von Hausaufgabe ME08b auf Seite 11.
Seite 12-16: Ein längerer und bestimmt recht anstrengender Exkurs führt uns in das Gebiet der Körpererweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen z.B. durch Hinzunahme der Quadratwurzel aus 2. Durch die erlernten Techniken können wir solche Körper durch (n x n)-Matrizen beschreiben; das gilt ebenso für die Erweiterung der reellen zu den komplexen Zahlen. Damit erhalten wir einen zweiten Blickwinkel auf derlei Körper, so dass sich der Exkurs gelohnt hat.