Ergänzungen Linearen Algebra – Woche 10

Diese Woche ist es etwas mehr Stoff in der Linearen Algebra: Wir lernen den Vektorraum Hom(V,W) der linearen Abbildungen von V in W kennen. Für endlich-dimensionale Vektorräume ist dieser zum passenden Vektorraum Km x n isomorph, was uns eigentlich nicht sehr überrascht. Speziell interessiert uns V‘ = Hom(V,K), der Vektorraum der Linearformen, der auch der Dualraum von V genannt wird. Ist dim V endlich, so ist V‘ zu V isomorph; für unendlich-dimensionale Vektorräume fällt V‘ dagegen sehr viel „größer“ aus.
Eine spezielle Linearform auf dem Vektorraum Kn x n der quadratischen Matrizen ist die Spur, die einfach die Summe der Diagonaleinträge einer Matrix berechnet. Wir charakterisieren die Spur als Linearform und stellen fest, dass jede Linearform auf Kn x n eng mit der Spur zusammenhängt.
Als nächstes steht der Begriff der transponierten Abbildung im Vordergrund. Vor allem erkennen wir, dass die Darstellungsmatrix der transponierten Abbildung gleich der transponierten Darstellungsmatrix der ursprünglichen Abbildung ist. Aus einigen kleinen Überlegungen erkennen wir, dass die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (der Spaltenrang) und die Anzahl der linear unabhängigen Spalten (der Spaltenrang) einer Matrix stets übereinstimmen.

Seite 01: Wir führen den Vektorraum Hom(V,W) der linearen Abbildungen von V in W ein.

Seite 02: Bilineare Abbildungen sind solche, die ein Paar von Vektoren als Argument annehmen und dabei in jedem der Argumente linear sind.

Seite 03: Die Komposition von linearen Abbildungen aus Hom(U,V) und Hom(V,W) kann als eilineare Abbildung verstanden werden. Außerdem formulieren wir den Satz, dass mit V1 isomorph V2 und W1 isomorph zu W2 auch Hom(V1,W1) isomorph zu Hom(V2,W2) ist.

Seite 04: Wir beweisen den letzten Satz.

Seite 05: Einige Bemerkungen.

Seite 06: Bildet man eine Matrix auf die Abbildung „Linksmultiplikation mit dieser Matrix“ ab, so erhält man einen Isomorphismus von Km x n auf Hom(Kn, Km).

Seite 07: Es erscheint recht plausibel, zu einer linearen Abbildung sämtliche Darstellungsmatrizen zu betrachten und hierunter eine besonders einfache auszuzeichnen.

Seite 08: Für Endomorphismen f betrachtet man die Menge aller Darstellungsmatrizen [f]AA. Zwei Matrizen M, N in dieser Menge heißen ähnlich, d.h. es gibt eine invertiertere Matrix T mit N = TMT-1.

Seite 09: Der Dualraum V‘ eines Vektorraums V ist nichts anderes als V‘ = Hom(V, K); die Elemente heißen Linearformen.

Seite 10:Jede Basis A von V definiert eine Menge A‘ linear unabhängiger Linearformen auf V. Für die Standardbasis A des Vektorraums der Polynome ist allerdings A‘ keine Basis des Dualraums.

Seite 11: Ist A eine Basis des endlich-dimensionalen Vektorraums V, so ist A‘ eine Basis von V‘, die die zu A duale Basis genannt wird.

Seite 12: Ein Beispiel für eine duale Basis.

Seite 13: Als Einschub behandeln wir die Charakteristik eines Körpers als die kleinste Zahl p, für die die Summe 1+…+1 aus p Einsen 0 ergibt – falls keine solche Summe verschwindet, so setzen wir die Charakteristik auf p=0. Außer 0 kommen nur Primzahlen für die Charakteristik in Frage.

Seite 14: Die Spur tr(M) einer quadratischen Matrix M ist die Summe der Diagonalelemente. Damit erhalten wir eine besonders wichtige Linearform auf dem Vektorraum aller (nun)-Matrizen; speziell gilt tr(AB) = tr(BA). Damit kann man zeigen, dass ähnliche Matrizen stets dieselbe Spur besitzen.

Seite 15: Beweis von tr(AB) = tr(BA) und Anwendung auf Drehungen im Raum.

Seite 16: Wir betrachten eine Linearform d auf Km x n mit d(E)=n und d(AB)=d(BA). Ist die Charakteristik von K kein Teiler von n, so ist d gleich der Spur.

Seite 17: Hausaufgabe LA10A beschäftigt sich mit weiteren Tatsachen über die Linearformen von Km x n.

Seite 18: Jede lineare Abbildung f zwischen V und W definiert eine Abbildung f‘ von W‘ nach V‘, die die transponierte Abbildung genannt wird. Auch f‘ ist linear.

Seite 19: Wir rechnen ein Beispiel.

Seite 20: Fortsetzung des Beispiels.

Seite 21: Wir führen die Transponierte einer Matrix M ein, indem wir die Spalten von M zeilenweise in eine neue Matrix schreiben.

Seite 22: Die Darstellungsmatrix der transponierten Abbildung f‘ bezüglich der dualen Basen ist gleich der Transponierten der Darstellungsmatrix von f bezüglich der gegebenen Basen. In Hausaufgabe LA10B soll man außerdem die Gültigkeit von (MN)T = NT MT nachweisen.

Seite 23: Wir beweisen den auf der letzten Folie angegebenen Satz.

Seite 24: Das fehlende Detail des letzten Beweises.

Seite 25: Ein Beispiel für den letzten Satz.

Seite 26: Als eine Anwendung für Linearformen zeigen wir, dass genau deren Kerne die maximalen Untervektorräume (Hyperebenen genannt) sind.

Seite 27: Nachweis der Behauptung der letzten Folie.

Seite 28: Wir zeigen, dass die Dimension der Bilder einer linearen Abbildung f und ihrer Transponierten f‘ übereinstimmen.

Seite 29: Der Spaltenrang einer Matrix ist die Anzahl ihrer linear unabhängigen Spalten und damit die Dimension des Bildes der zugehörigen linearen Abbildung. Der Zeilenrang wird ähnlich definiert. Mit den bereits erzielten Resultaten erhalten wir, dass Zeilen- und Spaltenrang übereinstimmen.