In dieser Woche schließen wir mit dem Nachweis der Produktregel den Abschnitt über Determinanten ab. Außerdem steht ein Einschub über Polynome auf dem Programm. Hier werden wir vor allem den erweiterten Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome studieren und diesen in einigen Beispielen ausprobieren. Den Euklidischen Algorithmus kann man auch zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen einsetzen. Als Anwendung sehen wir uns sogenannte Restklassenringe an, die in speziellen Fällen neue Beispiele endlicher Körper liefern werden.
Seite 01: Wir benötigen einige spezielle Matrizen, die wir hier einführen.
Seiten 02-04: Volumenformen f können als Abbildungen von den quadratischen Matrizen in den Grundkörper charakterisiert werden, bei denen die Produktformel f(AB) = f(A) f(B) für spezielle Matrizen B gilt. Hieraus erhalten wir relativ einfach die Gültigkeit der Produktformel det(AB) = det(A) det(B) für die Determinante.
Seiten 05-06: In einem Einschub über Polynome legen wir zunächst den Begriff der Teilbarkeit für Polynome fest. Außerdem lernen wir, dass Division mit Rest für Polynome möglich ist.
Seiten 07-08: Zwei Übungen zur „Division mit Rest“.
Seiten 09-14: Zentrales Thema des Einschubs ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) d(x) zweier Polynome p(x) und q(x). Dieser kann in der Form d(x) = s(x)p(x)+t(x)q(x) mit passenden Polynomen dargestellt werden. Der hierfür benötigte erweiterte Euklidische Algorithmus wird hier ausführlich besprochen und mit Beispielen unterlegt.
Seite 15: In Hausaufgabe LA13A soll der ggT zweier Polynome bestimmt werden.
Seiten 16-23: Die Darstellung gut(p,q) = sp+tq klappt auch in den ganzen Zahlen. Dies ermöglicht es uns, einige neue Beispiele endlicher Körper kennenzulernen. Dieser Einschub wird im weiteren Verlauf der Vorlesung nicht benötigt und kann unbeschadet übersprungen werden.
Seite 24: In einem kleinen Exkurs wird skizziert, was wir eigentlich mit den nun deutlich vertieften Erkenntnissen über Polynome anfangen wollen.