Ergänzungen Linearen Algebra – Woche 9

In dieser Woche werden wir zeigen, dass jeder Vektorraum (endlich erzeugt oder nicht) eine Basis besitzt, wobei wir diesen Begriff erst einmal definieren müssen. Etliche Merkwürdigkeiten aus dem Urwald des Unendlichen werden uns dabei über den Weg laufen – gut, das sich auch die Lineare Algebra 1 nur mit endlich-dimensionalen Vektorräumen beschäftigt. Trotzdem sollte man wissen, was am Rand des Weges so alles lauert.

Seite 01: Wir erinnern an den Begriff der „Linearkombination“ für unendliche Mengen von Vektoren.

Seite 02: Die Begriffe linear unabhängig und Basis werden jetzt auch für unendliche Mengen von Vektoren eingeführt. Außerdem erfahren wir, wann zwei unendliche Mengen „gleich groß“ sind und warum es nicht mehr rationale Zahlen als natürliche Zahlen gibt.

Seite 03: Als kleinen Exkurs zeigen wir, dass es mehr reelle Zahlen gibt, als man zählen kann.

Seite 04: Der für diesen Abschnitt entscheidende Satz besagt, dass man zwischen einer linear unabhängigen Menge und einem Ereugendensystem immer eine Basis findet. Zum beweis wir das Lemma von Zorn benötigt.

Seite 05: Der Beweis des Satzes.

Seite 06: Fortsetzung von Seite 5.

Seite 07: Fortsetzung von Seite 6.

Seite 08: Wir ziehen einige Folgerungen aus dem Satz; speziell der Austauschsatz ist eine unmittelbare Konsequenz.

Seite 09: In Hausaufgabe LA09 geht es um den Dimensionssatz.

Seite 10: Wir zeigen, dass sich durch die Zuweisung von Werten zu den Elementen einer Basis immer eine lineare Abbildung definieren lässt.

Seite 11: Eine abschließende Bemerkung zu diesem Abschnitt.

Ende des ersten Kapitels.