Die Videos auf dieser Seite behandeln Aufgabentypen, die auch in einer (und vor allem: in der) Klausur vorkommen können. Ein gründliches Durcharbeiten mit Rückgriff auf die Vorlesung zur Klärung von Unbekanntem wird daher sehr empfohlen. Fast noch wichtiger ist die Lösung der Hausaufgaben, die eine Gelegenheit zur Überprüfung des eigenen Leistungsstands bieten.
A – Unterräume: Wie rechnet man nach, ob etwas ein Unterarm ist?
B – Basen: Bestimmen von Basen in unterschiedlichen Situationen.
Hausaufgaben für die Einheiten A und B.
C – Gaußalgorithmus: Wie liest man die Lösungen eines linearen Gleichungssystems aus der reduzierten Stufenform ab?
D – Lineare Abbildung: Wie zeigt man, dass eine Abbildung zwischen Vektorräumen linear ist?
E – Koordinaten: Was sind Koordinaten? Und was hat es mit der „Darstellungsmatrix“ einer linearen Abbildung auf sich?
In der folgenden Übung wollen wir gemeinsam eine recht umfangreiche Aufgabe lösen, die unterschiedliche Aspekte von Klausuraufgaben zum Thema „Darstellungsmatrix“ beleuchtet. Insbesondere sehen wir, dass wir einerseits durch „blindes Rechnen“ durch solche Aufgaben kommen. Andererseits lässt sich durch geschicktes Hinsehen sehr viel Zeit (und sehr viel unnütze Rechnerei) einsparen.
Bitte konsumiert die Übung nicht einfach, sondern versucht diese zunächst selbständig zu lösen.
Zwei verwandte Aufgaben gibt es als häusliche Übungen.
Übung (Darstellungsmatrizen): Erläuterung der Aufgabe; Lösung von Teil (a) und (b) durch „blindes Rechnen“.
Übung (Darstellungsmatrizen): Finden einer Strategie zur Lösung der Aufgabe. Einfachere Lösung für die Teile (a) und (b).
Übung (Darstellungsmatrizen): Die Teile (c), (d) und (h).
Übung (Darstellungsmatrizen): Die restlichen Teilaufgaben.
Hausaufgaben (Darstellungsmatrizen): Anhand einer ganz ähnlichen Aufgabe könnt ihr euren Leistungsstand überprüfen. Die zweite Aufgabe behandelt die gleichen Fragestellungen in der Situation einer durch eine Matrix gegebenen Abbildung; hier hatten wir einmal ein Kochrezept….
Mit dieser Vorbereitung sollte eine Aufgabe über lineare Abbildungen, Basen und Darstellungsmatrizen bereits kein großes Problem mehr sein!
Eigenwerte und Eigenvektoren: Eine kleine Wiederholung des Themas „Eigenwerte und Eigenvektoren“.
Eigenwerte und Eigenvektoren: Erste Übungsaufgabe (einfache Eigenwerte)
Eigenwerte und Eigenvektoren: Zweite Übungsaufgabe (mehrfache Eigenwerte)
Eigenwerte und Eigenvektoren: Dritte Übungsaufgabe (mehrfache Eigenwerte)
Eigenwerte und Eigenvektoren: Eine kleine Erweiterung zum Thema – wie bestimmt man Potenzen Mk einer Matrix M? Insbesondere wird der Satz von Cayley-Hamilton erläutert.
Eigenwerte und Eigenvektoren: Die Hausaufgabe zu Eigenwerte und Eigenvektoren.
0Euklidisches Skalarprodukt: Wir kümmern uns vor allem um die Fourierentwicklung, das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren sowie einige geometrische Anwendungen.