In dieser Woche lernen wir wieder einmal einen grundlegenden Begriff der Linearen Algebra kennen: Die Determinante ordnet jeder quadratischen(!) Matrix M eine Zahl det(M) aus dem Grundkörper K zu. Diese Zahl lässt sich auf zwei verschiedene Weisen interpretieren: Zum einen gibt sie das (vorzeichenbehaftete) Volumen des von den Spaltenvektoren von M erzeugen Spats (d.i. das höher-dimensionale Analogon eines Parallelogramms) an. Zum anderen beschreibt det(M) die Volumenverzerrung der durch M beschriebenen linearen Abbildung.
Neben Verfahren zur Berechnung von Determinanten wie dem Entwicklungssatz von Laplace lernen wir auch etliche nützliche Eigenschaften der Determinante kennen. Besonders interessant für den nächsten Abschnitt – zu dem wir jetzt schon einige Beispiele andeuten – ist die Tatsache, dass der Kern von M genau dann von 0 verschiedene Elemente enthält, wenn det(M) verschwindet.
Seite 01: Die Determinante einer quadratischen Matrix lässt sich als vorzeichenbehaftetes Volumens des von den Spaltenvektoren aufgespannten Spats motivieren. Ein Spat ist hierbei als das höher-dimensionale Analogon eines Parallelogramms zu verstehen.
Seite 02: Direkt aus der Motivation ergeben sich einige wünschenswerte Eigenschaften, die eine Determinantenfunktion haben sollte.
Seite 03: Die gewünschten Eigenschaften kristallisieren sich in drei Forderung an eine Determinantenfunktion.
Seite 04: Glücklicherweise gibt es eine Funktion „det“, die die geforderten Eigenschaften besitzt – und diese ist als Bonus auch noch eindeutig. Den Beweis hierzu führen wir allerdings erst im Ergänzungskurs „Lineare Algebra“.
Seite 05: Anhand eines Beispiels studieren wir die Auswirkungen elementarer Spaltenumformungen auf die Determinante einer Matrix.
Seite 06: Fortsetzung von Seite 5.
Seite 07: Fortsetzung von Seite 6; Formel für 2×2-Determinanten.
Seite 08: Für obere und untere Dreiecksmatrizen können wir die Determinante besonders einfach ausrechnen.
Seite 09: Und noch ein Beispiel: Dieses zeigt, dass wir den „Spalten-Gauß-Algorithmus“ zur Berechnung von Determinanten nicht bis zum bitteren Ende durchführen müssen, sondern bereits beim Erreichen einer Stufenform aufhören können.
Seite 10: Beispiel der Bestimmung der Determinante einer großen Matrix in Blockform.
Seite 11: Wir führen die Transponierte einer Matrix ein. Diese hat die gleiche Determinante wie die ursprüngliche Matrix. Außerdem lernen wir, dass die Determinante multiplakativ ist.
Seite 12: Aus dem letzten Satz könne wir eine wichtige Folgerung ziehen: Anstelle von Spaltenumformungen können wir zur Berechnung von Determinanten auch Zeilenumformungen durchführen.
Seite 13: Eine etwas aufwendige Rechnung dient als Vorbereitung für den Entwicklungssatz von Laplace.
Seite 14: Der Entwicklungssatz von Laplace – Entwickeln von Determinanten nach Zeilen oder Spalten.
Seite 15: Beispiel zum Entwicklungssatz von Laplace.
Seite 16: Mit der Regel von Sarrus kann man die Determinante einer (3×3)-Matrix (und nur einer solchen!) einfach bestimmen.
Seite 17: Beispiel für die Regel von Sarrus.
Seite 18: Satz 6.3 zeigt, dass die Determinanten von M un TMT-1 übereinstimmen. Außerdem stellen wir fest, dass eine Matrix genau dann invertierter ist, wenn ihre Determinante nicht verschwindet.
Seite 19: Eine kleine Anwendung des letzten Ergebnisses zeigt, warum Drehungen Raum immer eine Achse haben.
Seite 20: In Hausaufgabe IngMa12A dreht sich alles um die Berechnung von Determinanten.
Seite 21: Auch Endomorphismen eines endlich-dimensionalen Vektorraums haben eine Determinante.
Seite 22: Für die kommende Woche müssen wir Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten ermitteln können. Wir lernen, welche rationalen Zahlen hierbei überhaupt in Betracht kommen – und geben auf, wenn diese Kandidaten versagen.
Seite 23: Das Hornerschema ist eine wundervolle Methode zur Ermitteln von Nullstellen.
Seite 24: Ein Beispiel zum Hornerschema sowie Hausaufgabe IngMa12B .