Ingenieurmathematik 2 – Woche 14

Im 7. Abschnitt geht es um Eigenwerte und Eigenvektoren von Endomorphismen (d.i. eine lineare Selbstabbildung f eines Vektorraums V). Dabei heißt ein Skalar t Eigenwert, wenn die Gleichung f(u) = tu Lösungen u besitzt, die von 0 verschieden sind; solche Lösungen heißen dann Eigenvektoren von f zum Eigenwert t. Zusammen mit dem 0-Vektor bilden sämtliche Eigenvektoren zu einem festen Eigenwert t den Eigenraum von f zum Eigenwert t.
Für endlich-dimensionale Vektorräume können wir den Endomorphismus f durch eine seiner Darstellungsmatrizen A ersetzen. Die Eigenwerte sind dann genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(A-tE), so dass wir hier eine Handhabe zur Berechnung haben. Per Basiswechsel erhalten wir eine zu A ähnliche Darstellungsmatrix B = T-1AT, die die gleichen Eigenwerte wie A besitzt.
Natürlich möchten wir gerne eine möglichst einfache Darstellungsmatrix für einen Endomorphismus haben. Damit stellt sich die Frage, wann einer dieser Darstellungmatrizen eine Diagonalmatrix ist. Diese Frage kann mit Hilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren gelöst werden, was wir am Ende des Abschnitts auch tun werden.

Seite 01: Wir führen die Begriffe Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum für Endomorphismen ein.

Seiten 02-05: Vier Beispiele sollten klarmachen, worum es eigentlich geht und wie man Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen könnte.

Seite 06: Beispiel 5 erfordert etwas mehr Wissen aus der Oberstufe. Wer das Ableiten / Differenzieren von Funktionen noch nicht auf dem Programm hatte, der kann dieses Beispiel schadlos ignorieren.

Seite 07: Die Begriffe Eigenwerte und Eigenvektoren gibt es auch für Matrizen A. Hier hat man den Vorteil, dass man die Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(A-tE) bestimmen kann.

Seite 08: Zwei quadratische Matrizen A und B heißen ähnlich, wenn es eine invertiertere Matrix T mit B = T-1AT gibt. Darstellungsmatrizen desselben Endomorphismus zu verschiedenen Basen sind immer ähnlich, was diesen Begriff motiviert.

Seiten 09-10: Wir zeigen, dass ähnliche Matrizen dasselbe charakteristische Polynom und damit auch die gleichen Eigenwerte besitzen.

Seite 11: Eine Matrix heißt diagonalisierbar, wenn sie zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist.

Seite 12: Ein Beispiel einer Matrix, die über C, aber nicht über R diagonalisierbar ist – Diagonalisierbarkeit ist also vom verwendeten Grundkörper abhängig.

Seite 13: Wir führen die algebraische Vielfachheit und die geometrische Vielfachheit von Eigenwerten ein.

Seite 14: In Satz 7.10 stellen wir fest, dass Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stets linear unabhängig sind.

Seiten 15-18: Wir einwickeln mehrere äquivalente Kennzeichnungen für die Diagonalisierbarkeit.

Seiten 19-27: In dieser recht umfangreichen Übung dreht sich alles um die Diagonalisierbarkeit.

Seite 28: Hausaufgabe IngMa14A ist eher theoretisch (aber prinzipiell einfach) und dient der Festigung des Gelernten.

Seite 29: Hausaufgabe IngMa14B ist eine reine Rechenaufgabe.

Ende des zweiten Kapitels.