In dieser Woche lernen wir orthogonale Abbildungen als diejenigen linearen Abbildungen auf einem Vektorraum mit Skalarprodukt kennen, die das fragliche Skalarprodukt erhalten. Für das Euklidische Skalarprodukt auf dem Rn werden diese durch orthogonale Matrizen beschrieben; das sind diejenigen (nxn)-Matrizen R mit RTR=E.
Im zweiten Teil geht es um symmetrische Matrizen, die – wie sich herausstellen wird – stets diagonalisierbar sind, da sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzen. Es gibt daher zu einer symmetrischen Matrix G stets eine orthogonale Matrix R, für. die RTGR=R-1GR eine Diagonalmatrix ist (Hauptachsentransformation). Speziell ist eine symmetrische Bilinearform genau dann ein Skalarprodukt, wenn sämtliche Eigenwerte ihrer Grammatrix positiv sind.
Da Eigenwerte nicht gerade einfach zu berechnen sind, stellen wir mit dem symmetrischen Gaußalgorithmus ein alternatives Verfahren vor, um wenigstens die Vorzeichen der Eigenwerte einer symmetrischen Matrix zu ermitteln.
Seite 01: Wiederholung des Begriffs einer Orthogonalbasis.
Seite 02-03: Orthogonale Abbildungen sind diejenigen linearen Abbildungen, die ein vorgegebenes Skalarprodukt erhalten. Insbesondere sind sie damit „längentreu“ bezüglich der durch das Skalarprodukt definierten Norm.
Seite 04-06: Orthogonale Abbildungen bezüglich des Euklidischen Skalarprodukts werden durch orthogonale Matrizen beschrieben; das sind diejenigen Matrizen R mit RTR=E.
Seite 07-10: Bislang tauchten symmetrische Matrizen als Gram-Matrizen symmetrischer Bilinearformen auf. Wir interessieren uns jetzt für die durch symmetrischen Matrizen beschriebenen linearen Abbildungen, die selbstadjungierte Abbildungen genannt werden.
Seite 11-14: Jede symmetrische Matrix G besitzt eine Orthogonalbasis bestehend aus Eigenvektoren von G (Spektralsatz für symmetrische Matrizen).
Seite 15-17: Aus dem Spektralsatz folgt: Zu einer symmetrischen Matrix G gibt es eine orthogonale Matrix R, für die RTGR = R-1GR eine Diagonalmatrix ist (Hauptachsentransformation). Speziell gehört G genau dann zu einem Skalarprodukt, wenn sämtliche Eigenwerte von G positiv sind.
Seite 18-23: Leider ist das Berechnen von Eigenwerten auch für symmetrische Matrizen eine Tortur. Sollten allerdings nur die Vorzeichen der Eigenwerte eine Rolle spielen (etwa, wenn man feststellen will, ob die Matrix ein Skalarprodukt beschreibt, dann hilft der symmetrische Gaußalgorithmus weiter. Dieser verlangt nach jeder elementaren Zeilenumformung die gleiche Spaltenumformung durchzuführen.
Seite 24-25: Ein ausführlich gerechnetes Beispiel zum symmetrischen Gaußalgorithmus.
Seite 26: In der Hausaufgabe IngMa16 geht es um die Hauptachsentransformation und den symmetrischen Gaußalgorithmus. Ein Teil der Aufgabe stammt aus einer der letzten Klausuren.