Einer der grundlegenden Begriffe der Linearen Algebra ist der des Vektorraums, den wir in dieser Woche besprechen wollen – schließlich handelt die gesamte Vorlesung von Vektorräumen und den sogenannten „linearen Abbildungen“. Eine erste Vorstellung des Begriffs erhält man, wenn man den Kn als Prototyp nimmt: Die Elemente eines Vektorraums kann man addieren und mit Elementen aus dem Grundkörper K multiplizieren, wobei alle „coolen Rechengesetze“ des Kn auch hierfür gelten sollen.
Außerdem führen wir noch den Begriff des Untervektorraums ein und lernen auch hier einige Beispiel kennen. So ist etwa der Lösungsraum eines homogenen Gleichungssystems ein Untervektorraum des Kn.
Im zweiten Teil geht es um den Aufspann einer Teilmenge eines Vektorraums. Nach der Einführung und Besprechung des Begriffs Linearkombination stellen wir fest, dasss ein derartiger „Aufspann“ stets ein Untervektorraum ist – ein bequemes Verfahren zur Angabe von Untervektorräumen!
Im Anschluss ist ein weiterer Abstecher in die Mengenlehre vorgesehen. Hier lernen wir ein wenig über Schnittmengen und Vereinigungsmengen. Das neue Wissen wird auch sofort eingesetzt: Der Schnitt beliebig vieler Untervektorräumen eines Vektorraums ist nämlich wieder ein Untervektorraum.
Seite 01: Eine erste, grobe Festlegung des Begriffs „Vektorraum“.
Seite 02: Die „offizielle“ und endgültige Definition: Was ist ein Vektorraum?
Seite 03: Einige Bemerkungen.
Seite 04+05: Beispiele von Vektorräumen.
Seite 06: Als zweiter wichtiger Begriff werden Untervektorräume eingeführt.
Seite 07: Einige Beispiele von Untervektorräumen.
Seite 08: Wir zeigen, dass der Lösungsraum eines homogenen linearen Glecihngssystems stets ein Untervektorraum eines Kn ist.
Seite 09: Zwei wichtige Rechenreglen für das Produkt „Matrix x Vektor“ werden erläutert.
Seite 10: Hier geht es um den Begriff der Linearkombination.
Seite 11: Wir lernen das Summenzeichen als bequeme Schreibweise kennen.
Seite 12: Der Aufspann einer Teilmenge eines Vektorraums ist eine bequeme Möglichkeit zur Angabe von Untervektorräumen.
Seite 13+14: Beispiele zum Aufspann.
Seite 15 bis 19: Aus der Mengenlehre fehlt noch die Vereinbarung, was wir eigentlich unter dem Schnitt und der Vereinigung von Mengen verstehen wollen. Dies machen wir recht ausführlich, um auch unendliche viele Mengen schneiden bzw. vereinigen zu können.
Seite 20: Wir lernen, dass der Schnitt beliebig vieler Untervektorräume eines Vektorraums wieder ein Untervektorraum ist.
Seite 21: Dieses Video beinhaltet die Hausaufgaben B und C.