Ingenieurmathematik 2 – Woche 8

In dieser Woche lernen wir neue Begriffe kennen, nämlich „injektiv“, „surjektiv“ und „bijektiv“; alle drei beschreiben Eigenschaften von Abbildungen. Natürlich liegen uns dabei vor allem lineare Abbildungen und dort wiederum die durch Matrizen definierten linearen Abbildungen am Herzen. Hierbei stellt sich heraus, dass eine Matrix M genau dann zu einer bijektiven (d.i. umkehrbaren) linearen Abbildung gehört, wenn sie invertierbar ist.

Die Tafelbilder der heutigen Vorlesung:Herunterladen

Einen Artikel über unser heutiges Übungsthema „Statik von Fachwerken“ könnt ihr auf der Seite der Zeitschrift „Mathematikinformation“ (Heft 53) herunterladen.

Seite 01-05: Wir führen die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv zunächst für allgemeine Abbildungen ein. Bei dieser Gelegenheit diskutieren wir noch, warum eigentlich Urbildmenge und Zielmenge mit zur Definition einer Abbildung gehören.

Seite 06-10: Die für uns interessante Frage die nach der Surjektivität von Abbildungen, die durch Matrizen gegeben werden. Hier zeigt es sich, dass man die Eigenschaft „surjektiv“ von ganz verschiedenen Seiten betrachten kann. Seite 8 enthält eine „Kochrezept“ zur Überprüfung der Surjektivität in diesem Fall; eine Zusammenfassung befindet sich auf Seite 10.

Seite 11: Eine kurze Diskussion der Injektivität im gleichen Fall.

Seite 12-13: Bijektive lineare Abbildungen sind eng verwoben mit invertierbaren Matrizen; dieser Tatsache spüren wir hier nach und lernen auch gleich noch, wie man die Inverse einer Matrix ausrechnet.

Seite 14: In Hausaufgabe 08 wenden wir unsere frisch erworbenen Fähigkeiten an.

In der heutigen Übung geht es um die Statik einer einfachen Fachwerkbrücke. Dazu lernen wir zunächst einige grundlegende Dinge aus der Mechanik, um dann für die besagte Brücke ein recht großes lineares Gleichungssystem aufzustellen, zu lösen und zu interpretieren.