In der letzten Woche haben wir gelernt, dass der Schnitt von Untervektorräumen wieder ein Untervektorraum ist. Leider ist das für die Vereinigung nicht mehr der Fall, so dass wir hier für Ersatz sorgen müssen. Insbesondere lernen wir die Summe endlich vieler Untervektorräume kennen; diese ist der kleinste Untervektorraum, der alle vorgegebenen enthält.
Wir verlassen §2 und gehen in einem kurzen Einschub dem Begriff der Abbildung zwischen Mengen nach. Spezielle Abbildungen zwischen Vektorräumen, die sogenannten linearen Abbildungen, sind der zweite zentrale Begriff der Linearen Algebra und werden zu Beginn von §3 eingeführt. Speziell für die Vektorräume Kn lernen wir dabei, dass jede Matrix A per f(x) = Ax eine solche lineare Abbildung beschreibt, und dass auf diese Weise sämtliche linearen Abbildungen von Kn in Km entstehen.
Seite 01+02: Wir gehen nochmals kurz auf den Aufspann einer Teilmenge und dem Schnitt von Untervektorräumen ein. Außerdem lernen wir, dass die Vereinigung von Untervektorräumen i.a. kein Untervektorraum mehr ist – da brauchen wir einen Ersatz.
Seite 03: Wir lernen die Summe endlich vieler Untervektorräume als den kleinsten Untervektorraum kennen, der die vorgegebenen enthält.
Seite 04: Wir legen fest, wann eine Summe von Untervektorräumen als direkte Summe bezeichnet wird.
Seite 05: Eine fehlende Vokabel – Erzeugendensystem – wird nachgetragen.
Seite 06 bis 08: Eine typische Klausuraufgabe gibt zwei Untervektorräume U und V eines Kn vor und fordert zur Bestimmung des Schnitts und der Summe von U und V auf. Wir rechnen einen Vertreter dieser Aufgabe durch.
Seite 09: Ein weiteres Beispiel der oben erwähnten Aufgabe ist in Hausaufgabe 06A durchzurechnen.
Seite 10 bis 13: Eine Abbildung zwischen zwei Mengen X und Y ordnet jedem Element von X genau ein Element von Y zu. Etliche weitere Vokabeln im Umkreis dieses fundamentalen mathematischen Konzepts werden bei dieser Gelegenheit gleich mit besprochen.
Kapitel I, §3: Lineare Abbildungen
Seite 14 + 15: Der zweite zentrale Begriff in der Linearen Algebra ist der der linearen Abbildung, der jetzt festgelegt wird. Als wichtiges Beispiel von linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen der Form Kn und Km entpuppt sich die Multiplikation mit einer Matrix A, also die durch f(x) = Ax definierte Abbildung.
Seite 16: Umgekehrt findet man für jede lineare Abbildung f von Kn in den Km eine Matrix A, so dass f(x) = Ax für alle x erfüllt ist. Die Spalten dieser Matrix A sind schlicht und einfach die Bilder der Vektoren der Standardbasis – eine Erkenntnis, die immer wieder wichtig ist.
Seite 17: Wir sammeln noch drei weitere Beispiele für lineare Abbildungen.
Seite 18 bis 20: In dieser Übung geht es um das Auffinden einer Matrix einer linearen Abbildung von R3 in den R3, die durch die Angabe der Bilder eines Erzeugendensystems des R3 gegeben ist.
Seite 21: Hausaufgabe 06B ist analog zur vorangegangenen Übung. Hausaufgabe 06C beschäftigt sich mit dem Kern einer linearen Abbildung; dieser ist stets ein Untervektorraum des Urbildraums und somit den Mitteln der Linearen Algebra zugänglich.