Schülervorlesung „Kinematik von Roboterarmen“

Die mehrteilige Vorlesung ist im Sommersemester 2021 im Rahmen des Seminarfachs „Mathematik“ am Phoenix-Gymnasium Vorsfelde entstanden.

Ziel ist ein systematischer Zugang zur Kinematik serieller und paralleler Manipulatoren auf elementaren Niveau. Dabei stehen vor allem das direkte und das inverse kinematische Problem für industrielle Roboterarme im Vordergrund.

1: Geometrische Grundlagen

Woche 1 / Seite 01 bis 03: Als neue geometrische Objekte werden „Pfeile“ eingeführt. Diese sind durch eine Anfangs- und einen Endpunkt bestimmt, können aber frei verschoben werden.

Woche 1 / Seite 04 bis 07: Koordinaten werden sowohl für Punkte als auch für Vektoren eingeführt.

Woche 1 / Seite 08 bis 09: Die Hausaufgaben sowie ein Vorblick auf die nächste Woche.

Woche 2 / Seite 01 bis 04: Wir berechnen die Länge von Pfeilen in Koordinaten und führen bei dieser Gelegenheit auch gleich das Skalarprodukt von Pfeilen ein.

Woche 2 / Seite 05 bis 08: Eine alternative Interpretation der Koordinaten eines Punkts führt auf natürliche Weise zu Koordinatentransformationen, d.i. die Umrechnung von Koordinaten aus einem System in ein anderes. Hierbei sind Matrizen von Vorteil.

Woche 2 / Seite 09 bis 12: Führt man zwei Koordinatentransformationen hintereinander aus, so können die zuständigen Matrizen „multipliziert“ werden. Wie das geht, wird hier besprochen.

Woche 2 / Seite 13 bis 14: Ein kleiner Appetizer auf die kommende Woche und die Hausaufgaben..

2: Das direkte kinematische Problem für ebene Roboterarme

Woche 3 / Seiten 01 bis 02: Am Ende des letzten Teils haben wir die Auswirkung von zwei Koordinatentransformationen kurz besprochen. Hier folgt nun eine ausführliche Darstellung.

Woche 3 / Seiten 03 bis 05: Für den ebenen 3R-Arm (die „R“ stehen für drei Drehgelenke, englisch: revolute joints) sehen wir uns einen systematischen Ansatz für die Berechnung der Koordinaten des letzten Drehgelenks im Weltsystem an. Der Ansatz geht auf Denavit und Hartenberg zurück und bietet den Vorteil eines systematischen Zugangs, bei dem man nicht überlegen muss. Außerdem lässt er sich – wie wir sehen werden – einfach auf räumliche Situationen anpassen.

Woche 3 / Seiten 06 bis 08: Die beim gewählten Ansatz auftretenden Matrixprodukte müssen noch etwas unter die Lupe genommen werden. Hierbei entdecken wir noch gleich die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen kennen. Damit haben wir eine einfache Möglichkeit zur Hand, die Koordinaten des dritten Gelenks im Weltsystem zu bestimmen.

Woche 3 / Seiten 09 bis 10: Eine kleine Erweiterung des besprochenen Ansatzes führt auf die vollständige Lösung des direkten kinematischen Problems für den ebenen 3R-Arm.

Woche 3 / Seite 11: Die Hausaufgabe für diese Woche.

Damit haben wir das direkte kinematische Problem für ebene Roboterarme im Griff!

3: Das inverse kinematische Problem für ebene Roboterarme

Woche 4 / Seiten 01 bis 02: Anhand des ebenen RRR-Arms besprechen wir die Herangehensweise an das inverse kinematische Problem, wobei wir natürlich die bisher erzielten Erkenntnisse im vollen Umfang nutzen werden.

Woche 4 / Seiten 03 bis 05: Zunächst berechnen wir aus der Pose des Tools den hierzu notwendigen Ellbogenwinkel.

Woche 4 / Seiten 06 bis 08: Schulter- und Handgelenkwinkel lassen sich einfacher ermitteln, erfordern aber die Kenntnis des intelligenten Arkustangens.

Woche 4 / Seiten 09 bis 15: Nach der Lösung des inversen kinematischen Problems wenden wir dies an, um mit dem ebenen RRR-Arm eine Strecke zwischen zwei vorgegebenen Punkten zu zeichnen. Selbst bei einer theoretischen Lösung wie der hier vorgestellten sind dabei immer noch etliche Probleme zu lösen.

Woche 4 / Seite 16: In den Hausaufgaben sollen für einen ebenen PRR-Arm sowohl das direkte als auch das inverse kinematische Problem gelöst werden.

Das inverse kinematische Problem ist damit für ebene Roboterarme ebenfalls erledigt – es wird Zeit für dreidimensionale Arme.

4. Das direkte kinematische Problem für einen 6R-Industrie-Arm

Woche 05 / Seiten 01 bis 02: Räumliche Koordinaten kennt ihr bereits aus der Schule, so dass wir hier nur eine kleine Erinnerung geben und Koordinaten mit Punkten sowie Pfeilen in Verbindung bringen.

Woche 05 / Seiten 03 bis 10: Wie in 2D wird auch in 3D die Position des Tools als Koordinatentransformation vom Toolsystem in das Weltsystem festgelegt. Hierzu rechnen wir ein ausführliches Beispiel.

Woche 05 / Seiten 11 bis 19: Wir lösen das direkte kinematische Problem für einen industriellen Roboterarm. Hierbei kommt uns zugute, dass wir die grundlegenden Techniken bereits in 2D studiert haben: Wieder zerlegen wir die gesuchte Koordinatentransformation in mehrere einfache, indem wir passende Systeme an die Arme anbringen.

Woche 05 / Hausaufgabe In den Hausaufgaben dieser Woche geht es um das Lösen eines speziellen inversen kinematischen Problems für eine 3R-Hand. Die Beschäftigung mit dieser Aufgabe wird sich in der kommenden Woche auszahlen. Außerdem gibt es noch eine Aufgabe zur Berechnung der Position des Greifers unseres Industrie-Arms.