Ingenieurmathematik 1 | §1: Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit

Im ersten Paragraphen der Vorlesung lernen wir das zentrale Fundament der Analysis 1 kennen: Den Grenzwert von Funktionen. Auf diesem baut die Analysis auf; sowohl die Ableitung als auch das Integral werden über Grenzprozesse eingeführt. Auch die Stetigkeit von Funktionen basiert auf dem Grenzwertbegriff.

§1 als Playlist auf YouTube (externer link).
Die „Tafelseiten“ der Vorlesung im pdf-Format (gesamter §1).

Woche 01

Im Zentrum der ersten Vorlesung steht der Begriff des Grenzwerts einer Funktion f(x) an einer Stelle x = x0.

Die „Tafelseiten“ der Vorlesung im pdf-Format und die zugehörige druckfreundliche Version mit invertierten Farben.

Seite 01-06: In einem kurzen Vorspann behandeln wir die Begriffe Menge und Abbildung.
Hausaufgabe 01A auf Seite 04

Seite 07-10: Der für die gesamte Analysis zentrale Begriff des Grenzwerts steht im Zentrum des ersten Paragraphen der Vorlesung. Daher führen wir zunächst eine recht informelle, aber gut verständliche Bedeutung des Begriffs ein. In einem kleinen Vorgriff auf das spätere Geschehen sehen wir uns an, wie der Begriff der Ableitung (alias „Tangentensteigung“) auf einen Grenzwert zurückgeführt wird.

Seite 11-16: Es ist soweit: Wir legen mit Hilfe von 1.1 Definition fest, wie wir Grenzwerte verstehen wollen. Diese auf den ersten Blick recht abstrakte „epsilon-delta-Definition“ erläutern wir anhand eines sehr einfachen Beispiels.
Hausaufgabe 01B auf Seite 16

Seite 17-23: Die im vorangegangenen Teil behandelten Grenzwerte linearer Funktionen waren noch recht einfach zu handhaben. Der Nachweis, dass 4 der Grenzwert von f(x)=x^2 für x gegen 2 ist, fällt dagegen bereits etwas schwerer. Hierzu sehen wir uns ein „graphisches“ Verfahren an und erarbeiten ein vereinfachtes Verfahren für derartige Nachweise.
Hausaufgabe 01C auf Seite 23

Seite 24-26: Wir sehen uns mit f(x) = |x|/x eine Funktion an, deren Grenzwert für x gegen 0 nicht existiert. Solche Beispiele, in denen eine Definition nicht greift, sind für das Verständnis der Definition ebenso wichtig wie solche Beispiele, in denen alles gutgeht.

Seite 27 entfällt.

Woche 02

Die Tafelseiten der Vorlesung (Wochen 1-2) und die druckfreundliche Version für Woche 2.
Das per JupyterLab erstellte Notebook gibt es hier im PDF-Format.

Wer mit Python und JupyterLab arbeiten möchte, der kann Anaconda [externer Link] herunterladen und installieren.

Seite 28-32: Nach einer kurzen Wiederholung führen wir den Begriff der Stetigkeit ein: Eine Funktion heißt stetig in einer Stelle, wenn der Grenzwert der Funktion an dieser Stelle mit dem Funktionswert übereinstimmt. Dieser Begriff dient zum Aussperren besonders garstiger Funktionen aus dem weiteren Verlauf der Vorlesung.

Seite 33-36: Die Grenzwertrechenregeln dienen dem bequemen Berechnen von Grenzwerten von Funktionen, die sich aus einfacheren Funktionen zusammensetzen.
Hausaufgabe 02A befindet sich auf Seite 36.

Seite 37-41: Mit Hilfe der Grenzwertrechenregeln lernen wir, dass Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten stetiger Funktionen wieder stetig sind.

Seite 42-46: Auch die Verkettung stetige Funktionen ergeben wieder stetige Funktionen. Damit können wir bereits recht wüst aussehende Funktionen als stetig enttarnen.
Hausaufgabe 02B befindet sich auf Seite 46.

Für den nächsten Teil benötigt ihr Python (Link siehe oben).
Mit der symbolischen Bibliothek „sympy“ lassen sich etliche Probleme (nicht nur) aus der Analysis bewältigen; auch Plots von Funktionen sind möglich und helfen der Anschauung weiter.
Mit Hilfe der JupyterLab-Umgebung können wir unsere Rechnungen durch Hinzunahme von Text und mathematischen Formeln dokumentieren. Export in das html- oder LaTeX-Format liefert dabei ein wirklich gut aussehendes Dokument, das all unsere Bemühungen wirkungsvoll präsentiert.

Ergänzungen zur Vorlesung werden als solche gekennzeichnet und sind nicht klausurrelevant.

Ergänzung: Wir verwenden Python zur Behandlung der Funktion f(x) = sin(1/x). Diese weist in x = 0 ein recht wildes Verhalten auf.
(Die Verwendung von Python und JupyterLab werden in dem Video erläutert.)

Woche 03

In dieser Woche stehen zwei wichtige Sätze über stetige Funktionen auf dem Speiseplan: Der Zwischenwertsatz und der Satz vom Maximum und Minimum.

Die Folien von Woche 3 im druckfreundlichen Format. Die Tafelseiten des kompletten §1 findet ihr oben auf dieser Seite oder direkt hier.

Seite 47-51: In diesem Video geht es um den Zwischenwertsatz und damit um die erste von zwei sehr angenehmen Eigenschaften, die stetige Funktionen besitzen. Als kleine Anwendung sehen wir uns das „Intervallhalbierungsverfahren“ zur Annäherung von Nullstellen stetiger Funktionen an.
Hausaufgabe 03A befindet sich auf Seite 51.

Seite 52 – 56: Eine ebenfalls sehr nützliche Eigenschaft stetiger Funktionen ist im Satz vom Maximum und Minimum formuliert: Eine auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt dort Maximum und Minimum an. Bei dieser Gelegenheit lernen wir die Begriffe: lokales und globales Maximum / Minimum, Infimum, Supremum.

Seite 56 – 62: Wir wenden den Satz vom Maximum und Minimum zum Auffinden der Extremwerte eines Polynoms an. Bei dieser Gelegenheit erhalten wir auch einen ersten kurzen Einblick in die Differentialrechnung – in einem Extremum verschwindet die Tangentensteigung – wenn diese überhaupt existiert.
Hausaufgabe 03B befindet sich auf Seite 62

Seite 62 – 70: Zum Abschluss von §1 sehen wir uns noch rasch einseitige Grenzwerte, uneigentliche Grenzwerte sowie das Verhalten von Funktionen im Unendlichen an. Speziell für rationale Funktionen (also für Brüche aus zwei Polynomen) können wir dieses Verhalten direkt ablesen.
Hausaufgabe 03C befindet sich auf Seite 67.

Damit ist §3 abgeschlossen; in Woche 4 fangen wir daher mit der Differentialrechnung an.

Die wichtigsten Erkenntnisse aus §1:

  • Grenzwertbegriff (inkl. wie man in einfachen Fällen nachweist, dass eine Zahl der Grenzwert ist)
  • Grenzwertrechenregeln
  • Verkettete Funktionen
  • Stetigkeit
  • Aufbau stetiger Funktionen aus Bausteinen
  • Zwischenwertsatz
  • Satz vom Maximum und Minimum