Endlich geht es mit der Differenzierbarkeit von Funktionen in die eigentliche Analysis. Wir lernen die Definition der Ableitung kennen, die uns nach dem Vorlauf über Grenzwerte keine Schwierigkeiten bereiten sollte. Neben etlichen Rechenregeln gibt es dann noch etliche nützliche Sätze wie den Mittelwertsatz. Auch das lokale Verhalten von Funktionen und die Bestimmung lokaler Maxima und Minima stehen auf dem Programm.
§2 als Playlist auf YouTube (externer Link).
Der komplette Foliensatz von §2.
Woche 04
In dieser Woche lernen wir den Begriff der Ableitung einer Funktion kennen und auf verschiedene Weise auszudrücken. Außerdem wollen wir Rechenregeln zur Bestimmung von Ableitungen erarbeiten, so dass wir für den weiteren Verlauf gut gerüstet sind.
Die Folien für Woche 04 und 05 sind hier.
Eine druckfreundliche Version der Woche 04 gibt es hier.
Seite 01-07: Wir führen den Begriff der Ableitung einer Funktion an einer Stelle ein und diskutieren die anschauliche Bedeutung.
Hausaufgabe 04A steht auf Seite 6.
Seite 08-12: Mehrere Kennzeichnungen der Differenzierbarkeit erleichtern später das Leben ganz erheblich, so dass wir diese Kennzeichnungen hier vorstellen.
Seite 13-16: Einige Übungen sollen den Begriff der Ableitung und die behandelten Kennzeichnungen erhellen und einprägen.
Hausaufgabe 04B befindet sich auf Seite 16.
Woche 05
Rechenregeln für Ableitungen stehen auf dem Programm dieser Woche. Dank dieser Regeln können wir nicht nur Polynome und rationale Funktionen differenzieren, sondern auch recht wüste Exemplare.
Die Folien für Woche 04 und 05 sind hier.
Eine druckfreundliche Version für Woche 05 gibt es auch.
Seite 17-25: Wir beginnen mit einer kleinen Notiz (jede differenzierbare Funktion ist stetig) und wenden uns dann den Rechenregeln für Ableitungen zu.
Hausaufgabe 05A befindet sich auf Seite 25.
Seite 26-27: In einem kleinen Exkurs lernen wir, dass die Funktion f(x) = bx die Ableitung f'(x) = f'(0)*bx besitzt. Hierbei gilt f'(0) = 1 (und damit f'(x) = f(x)) für die Eulersche Zahl e, die wir hier zum ersten Mal kennenlernen.
Seite 28-30: Eine besonders wichtige Regel für das Differenzieren ist die Kettenregel, die wir hier studieren wollen.
Seite 31-37: Etliche Übungen zeigen uns, dass wir bereits eine Vielzahl von recht scheußlich aussehenden Funktionen differenzieren können.
Hausaufgabe 05B steht auf Seite 36.
Seite 38-51: Im letzten Abschnitt dieser Woche dreht sich alles um Umkehrfunktionen sowie deren Ableitungen mittels der Umkehrregel.
Hausaufgabe 05C befindet sich auf Seite 51.
Woche 06
In dieser Vorlesung lernen wir den wichtigen Mittelwertsatz der Differentialrechnung (MWS-D) kennen und sehen uns einige Anwendungen an. So kann man mit Hilfe des MWS-D die Monotonie von Funktionen in Bezug zum Vorzeichen ihrer Ableitungen setzen. Damit erhalten wir eine ausreichende Bedingung für lokale Extrema, die wir in den Übungen auch anwenden werden.
Die Folien der Vorlesungen der 6. Woche findet man hier und in druckfreundlicher Version hier.
Seite 52-56: Da wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung vor allem für die Extremwertsuche verwenden wollen, definieren wir zunächst die Begriffe lokales Minimum und lokales Maximum.
Seite 57-62: Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung hat etliche wichtige Anwendungen, so dass wir ihn detailliert behandeln wollen. Trotz des abschreckenden Namens besagt der Satz eigentlich nur, das zwischen zwei Stellen a und b eine differenzierbare Funktion immer eine Tangente besitzt, die zur durch a und b bestimmten Sekante parallel ist.
Zwei wichtige Folgerungen kann man für auf Intervallen definierte (differenzierbaren) Funktionen ziehen: (1.) Genau die konstanten Funktionen haben verschwindende Ableitungen und (2.) die Monotonie solcher Funktionen kann man anhand der Ableitung feststellen.
Hausaufgabe 06A befindet sich auf Seite 62.
Seite 63-69: Mit Hilfe des bisher Erreichten können wir endlich lokale Maxima und Minima aufspüren. Ist nämlich die Ableitung einer Funktion in einer Stelle a gleich 0, und wechselt die Ableitung an dieser Stelle das Vorzeichen von + nach – oder umgekehrt, so ist a ein lokales Extremum.
Hierzu rechnen wir ein ausführliches Beispiel, um auch die zugehörigen Rechentechniken einzuüben.
Hausaufgabe 06B steht auf Seite 69.
Seite 70-73: Die Übungen dieser Woche starten ebenfalls mit zwei Extremwertaufgaben, wobei die zweite eine typische „pseudo-angewandte“ Aufgabe ist: Möchte man bei einer Getränkedose mit gegebenen Volumen den Materialverbrauch minimieren, so müssen Durchmesser und Höhe der Dose übereinstimmen. Das passt so garnicht zur Realität, so dass wir der Frage nachgehen, warum Getränkehersteller von dieser Lösung abweichen.
Seite 74-81: Wieder einmal begutachten wir die für das Ingenieurwesen so wichtigen Winkelfunktionen. Diesmal lernen wir die „Schwingungsdifferentialgleichung“ kennen, deren Lösungen genau die Kombinationen von Sinus und Kosinus sind; zum Nachweis benötigt man (außer einer guten Idee) lediglich die Tatsache, dass Funktionen mit verschwindender Ableitung konstant sind. Mit Hilfe des genannten Resultats können wir die Additionstheoreme auf einfache Art nachweisen.
Hausaufgabe 06C auf Seite 81 beschäftigt sich mit der Exponentialfunktion.
Woche 07
Zum Abschluss des Paragraphen wollen wir uns ansehen, wie man das lokale Verhalten einer Funktion durch deren Ableitungen erkennt; außerdem steht der Begriff der konvexen Funktion auf dem Programm. Wir lernen weiterhin einige unangenehme Funktionen kennen. In der (diesmal sehr langen und nicht klausurrelevanten) Übung geht es mit dem Schubkurbelgetriebe endlich einmal in eine echte Anwendung des Gelernten im Maschinenbau.
Die Folien der 7. Woche findet man hier und in druckfreundlicher Version hier.
Seite 82-88: Verschwinden für eine ausreichend häufig differenziertere Funktion f an einer Stelle x0 die ersten n-1 Ableitungen (f‚(x0) = … = f(n-1)(x0) = 0), während die n-te Ableitung f(n)(x0) von 0 verschieden ist, so ist f lokal bei x0 streng monoton oder extremal. Dieser Satz über das lokale Verhalten von Funktionen ist eine Erweiterung des aus der Schule bekannten Kriteriums für lokale Extrema (erste Ableitung verschwindet, zweite Ableitung ist von 0 verschieden).
Seite 89-92: Etliche ganz verrückte Funktionen wollte ich wenigstens kurz vorstellen; darunter eine differenzierbareFunktion, der Ableitung unstetig ist, ein weitere, die in der Nähe einer Nullstelle der Ableitung weder monoton noch extremal ist, und eine dritte, bei der sämtliche Ableitungen in x=0 verschwinden.
Seite 93-97: Ganz kurz gehen wir noch auf die Begriffe konvex und konkav für Funktionen ein.
Die Hausaufgaben für die Woche 7 (Seite 97) bestehen aus denjenigen Teilen einer älteren Klausur, die sich mit Hilfe des bisherigen Stoffes lösen lassen – eine ideale Gelegenheit zum Training.
Seite 98-110: In dieser sehr umfangreichen Übung geht es um ein Schubkurbelgetriebe und damit (endlich mal wieder) um eine reale Anwendung des Gelernten. „Klausurrelevant“ ist das nicht, so dass man sich zurücklehnen und die Show genießen sollte.
Im nächsten Paragraphen steht die Einführung des Integrals im Mittelpunkt.