Ingenieurmathematik 1 | §4: Der Hauptsatz

Woche 9

Zur Berechnung von Integralen setzt man in den meisten Fällen den Hauptsatz ein, der die Berechnung mittels Stammfunktionen verfügbar macht. Für die Bestimmung von Stammfunktionen wiederum benötigt man etliche Rechentechniken, die ebenfalls in diesem Paragraphen behandelt werden.

Die Folien der Vorlesungen im Original und in druckfreundlicher Form.

Seite 1 – 3: Diese kurze Einführung gibt einen groben Überblick über die Ziele des Paragraphen.

Seite 4-11: Stammfunktionen, der Mittelwertsatz der Integralrechnung sowie der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stehen auf dem ersten Punkt der Tagesordnung.
Hausaufgabe 9A befindet sich auf Seite 11.

Seite 12-18: Die partielle Integration ist sozusagen die „Umkehrung“ der Produktregel beim Differenzieren; sie ist die erste der beiden hier behandelten Integrationstechniken.

Seite 19-26: Die zweite Integrationstechnik ist die Integration durch Substitution; diese lässt sich aus der Kettenregel herleiten.
Hausaufgabe 9B befindet sich auf Seite 26.

Woche 10

Zur Integration rationaler Funktionen bedient man sich der Partialbruchzerlegung, die wir in dieser Woche besprechen. Hieran anschließend lernen wir zwei sehr spezielle „Standardsubstitutionen“ kennen.
Die Folien zur Vorlesung gibt es wieder im Original und in der druckfreundlichen Version.

Seite 27-31: Im ersten Teil der Vorlesung müssen wir uns ein wenig um Polynome kümmern. Herzu fangen wir mit der Polynomdivision an.

Seite 32-36: Mit dem Horner-Schema kann man den Ort eines Polynoms an einer bestimmten Stelle recht schnell ausrechnen; für Nullstellen x0 liefert das Schema außerdem die Zerlegung p(x) = (x-x0) q(x).

Seite 37-39: Die bisher erarbeiteten Techniken ermöglichen die Bestimmung sämtlicher Nullstellen eines Polynoms – wenn diese überhaupt bestimmt werden können.

Seite 40-42: Die Integration rationaler Funktionen (Polynom durch Polynom) gelingt mit der Partialbruchzerlegung.

Seite 43-48: Zur Integration spezieller Funktionen gibt es Standardsubstitutionen, die das Problem auf die Integration einer rationaler Funktion zurückführen. Zwei solcher Standardsubstitutionen lernen wir in diesem Teil kennen.

Woche 11

Wir nähern uns dem Ende von §4 und lernen zunächst eine mathematisch belastbare Möglichkeit zur Einführung der Exponentialfunktion sowie der Winkelfunktionen kennen. Den „offiziellen“ Abschluss von §4 bildet eine kurze Untersuchung uneigentlicher Integrale.
Die Folien zur Vorlesung im Original und in der druckfreundlichen Version gibt es natürlich auch wieder.

Seite 49-53: Die Definition des natürlichen Logarithmus als Stammfunktion von 1/x hat den Vorteil, dass diese Festlegung mathematisch „sauber“ ist. Die Exponentialfunktion erhält man hieraus als Umkehrfunktion und kann im Anschluss Potenzen ab für beliebige b auf die Exponentialfunktion zurückführen.

Seite 54-58: Auch die Winkelfunktionen kann man mathematisch „sauber“ definieren; hierbei bedient man sich des Arkustangens, den man als Stammfunktion von 1/(1+x2) erhält. Hierauf gehen wir allerdings nur kurz ein.

Seite 59-72: Liegt im Integrationsintervall eines Integrals eine Singularity, oder erstreckt sich dieses Intervall ins Unendliche, so spricht man von einem uneigentlichen Integral. In den meisten Fällen bedeutet dies nur, dass man neben der Integration noch zusätzlich einen Grenzwert in den Griff bekommen muss. Allerdings spielen umeigentliche Integrale im Ingenieurwesen eine durchaus beachtliche Rolle, so dass wir diese hier behandeln wollen.