In dieser Woche studieren wir Vektorräume, die von einer endlichen Mengen von Vektoren aufgespannt werden (endlich erzeugte Vektorräume). Dabei werden wir die Begriffe Erzeugendensystem, linear unabhängig und vor allem Basis kennenlernen: Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, für die sich jeder Vektor eindeutig als Linearkombination dieser Vektoren darstellen lässt. Die genannte Art von Vektorräumen besitzt immer Basen und es stellt sich heraus, dass die Anzahl der Elemente dieser Basen – die Dimension des Vektorraums – immer gleich ist.
Seite 01-02: Ein kleines Eingangsbeispiel dient zur Motivation des Abschnitts.
Seite 03: Für endliche Mengen von Vektoren kann man das Bilden von Linearkombinationen als Abbildung „LK“ vom Kn in den Vektorraum deuten.
Seite 04-05: Hier finden sich die Begriffe endlich erzeugtErzeugendensystem, linear (un)abhängig und Basis.
Seite 06-09: Der hier behandelte Satz ist wichtig für den weiteren Verlauf der Vorlesung. Insbesondere notieren wir, dass jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis besitzt und dass je zwei Basen die gleiche Anzahl an Elementen besitzen.
Seite 10: Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Elemente einer (und damit jeder) seiner Basen. Speziell hat der Kn die Dimension n.
Seite 11-13: Einige Übungen dienen der Gewöhnung an die eingeführten Begriffe; dabei halten wir uns mal wieder im Vektorraum der quadratischen Polynome auf, der die Dimension 3 besitzt.
Seite 14: In der letzten Übung haben wir bereits gesehen, dass etwas Nachdenken einiges an Arbeit sparen kann. Wir notieren all diese Dinge nochmals in einem kleinen Satz.
Seite 15-18: In der zweite Übung überprüfen wir, ob eine einige vorgegebene Vektoren des R3 ein Erzeugendensystem bilden. Da sie das in dem Beispiel nicht tun, erarbeiten wir eine Strategie, um an eine Basis des Aufspannt zu kommen. Diese Strategie können wir über die „LK“-Abbildungen auch auf endlich erzeugte Untervektorräume des Vektorraums aller Polynome übertragen.
Seite 19-22: In Satz 4.10 erfahren wir, welche Eigenschaften „linear unabhängig“, „Erzeugendensystem“, „Basis“ durch welche linearen Abbildungen übertragen werden.
Seite 23-24: Satz 4.11 ist einem nützlichen Ergebnis gewidmet: Für eine lineare Abbildung stimmt die Summe der Dimensionen von Kern und Bild mit der Dimension des Urbildraums überein. Diese Erkenntnis wenden wir in einer Übung sofort an.
Seite 25-26: Hausaufgabe 09.