Das Ziel dieser Woche ist die mathematisch rigorose Einführung der Determinante einer quadratischen Matrix. Hierzu betrachten wir zunächst alternierende n-Formen (also alternierende Multilinearformen mit n Argumenten aus einem Vektorraum), wobei wir zwei gleichwertige Kennzeichnungen für „alternierend“ kennenlernen. Stimmt n mit der Dimension des Vektorraums überein, so nennt man solche Formen auch Volumenformen.
Die alternierenden n-Formen eines Vektorraums bilden wieder einen Vektorraum; für die Volumenformen stellt sich heraus, dass dieser die Dimension 1 besitzt. Damit gibt es bis auf Vielfache überhaupt nur eine solche Volumenform. Wir zeigen außerdem, dass es zu jeder Basis eine Volumenform gibt, die auf der Basis den Wert 1 annimmt. Hierzu benötigen wir die symmetrische Gruppe Sym(n) der Bijektionen auf der Menge {1, 2,…, n} sowie die Notation des Signums einer solchen Bijektion.
Wendet man das letzte Ergebnis auf die Standardbasis des Vektorraums Kn, so erhalten wir die Determinante.
Seite 01: Wir erklären die Begriffe n-Form und alternierend.
Seite 02: Eine n-Form ist genau dann alternierend, wenn sie immer dann den Wert 0 annimmt, wenn zwei oder mehr Argumente gleich sind.
Seite 03: Ist die Charakteristik des Körpers von 2 verschieden, so ist eine n-Form genau dann alternierend, wenn das Vertauschen von zwei Argumenten das Vorzeichen wechselt.
Seite 04: In Satz (6.6) halten wir fest, dass die alternierenden n-Formen einen Vektorraum bilden.
Seite 05: Volumenformen sind alternierende n-Formen mit n = dim(V). In Satz (6.7) reduzieren wir die möglichen Dimensionen für den Vektorraum der Volumenformen auf 0 oder 1 – bald werden wir feststellen, dass 1 sogar die einzige Möglichkeit ist.
Seite 06: Fortsetzung des Beweises von (6.7).
Seite 07: Zum Begin des Einschubs über die symmetrische Gruppe sehen wir uns zur Motivation nochmals die Regel von Sarrus an.
Seite 08: Für eine nicht-leere Menge M bezeichnet Sym(M) die Gruppe der bijektiven Abbildungen von M auf M.
Seite 09: Wir definieren den begriff Gruppe und stellen fest, dass Sym(m) in der Tat eine solche ist. Dies interessiert uns insbesondere für Sym(n) = Sym({1,2,…,n}), der symmetrischen Gruppe auf n Ziffern.
Seite 10: Elemente von Sym(n) heißen auch Permutationen. Wir führen weiterhin k-Zykel als spezielle Permutationen ein.
Seite 11: Anhand eines Beispiels erkennen wir, dass sich jede Permutation als Produkt zifferfremder Zykel schreiben lässt.
Seite 12: Wir formulieren aus der Erkenntnis von der letzten Folie einen Satz. Weiterhin rechnen wir nach, dass sich jeder Zykel als Produkt von Transpositionen (das sind 2-Zykel) schreiben lässt.
Seite 13: Das zentrale Hilfsmittel für den weiteren Verlauf des Abschnitts ist das Signum einer Permutation. Dieses zählt, ob man für die Zerlegung der Permutation in Transpositionen eine gerade oder ungerade Anzahl von Transpositionen benötigt. Wir führen das Signum allerdings etwas technischer ein, können aber dieses dafür besser handhaben.
Seite 14: In Satz (6.10) zeigen wir, dass sich das Signum multiplakativ verhält, d.h. sign(fg) = sign(f) sign(g). Außerdem weisen wir nach, dass das Signum einer Transposition stets -1 ist
Seite 15: Beweis von (6.10).
Seite 16: Beweis von (6.10), Fortsetzung.
Seite 17: Beweis von (6.10); Fortsetzung.
Ende des Einschubs über Permutationen.
Seite 18: Zu jeder Basis eines endlich-dimensionalen Vektorraums gibt es eine Volumenform, die auf dieser Basis den Wert 1 annimmt (6.11 Satz). Damit ist der Vektorraum der Volumenformen in der Tat eindimensional. Außerdem formulieren wir Hausaufgabe LA12A
Seite 19: Beweis von (6.11).
Seite 20: Beweis von (6.11); Fortsetzung.
Seite 21: Jetzt können wir die Determinante als diejenige Volumenform auf dem Vektorraum Kn einführen, die auf der Standardbasis den Wert 1 annimmt.
Seite 22: In Hausaufgabe LA12B sollen eine kleiner Beispiele zum Umgang mit Permutationen nachgerechnet werden. Insbesondere gibt es die besonders hübsche Teilaufgabe, die Regel von Sarrus direkt aus der Definition der Determinante abzuleiten.