Mit dem 3. Kapitel startet der letzte Teil der Vorlesung, in der es vor allem um Skalarprodukte gehen wird.
Diese werden vor allem zur Einführung der Begriffe „Länge eines Vektors“ (Norm) und „Winkel zwischen zwei Vektoren“ herangezogen.
Normen treten aber auch unabhängig von Skalarprodukten auf; hier behandeln wir vor allem die Operatornorm von Matrizen.
Was man sonst noch mit Skalarprodukten und Normen anstellen kann, zeigt der letzte Abschnitt dieses Teils der Vorlesung.
Seite 01-03: Zur Motivation einiger Teile des dritten Kapitels besprechen wir zunächst das Euklidische Skalarprodukt zweier Vektoren des Rn und diskutieren einige seiner Eigenschaften.
Seite 04-05: Das Euklidische Skalarprodukt ordnet sich zunächst in den Kontext der Bilinearformen eines Vektorraums V ein; das sind bilineare Abbildungen von VxV in den Grundkörper. Beispiele solcher Formen auf dem Kn sind die von einer (nxn)-Matrix G herrührenden Formen f(u,v) = uTGv.
Seite 06-09: Jeder Bilinearform eines endlich-dimensionalen Vektorraums kann man bezüglich jeder Basis eine Matrix zuordnen, die Gram-Matrix, die die Bilinearform in Koordinaten beschreibt. Hierzu diskutieren wir ein Beispiel einer Bilinearform auf dem Vektorraum der quadratischen Polynome.
Seite 10-12: Natürlich muss man auch wissen, wie sich die Gram-Matrix einer Bilinearform bei einem Basiswechsel verhält.
Seite 13-14: Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum ist eine symmetrische Bilinearform S, die zusätzlich noch positiv definitiv ist, für die also S(u,u) für jedes von 0 verschiedene u strikt positiv ausfällt. Jedes Skalarprodukt definiert eine Norm auf dem Vektorraum.
Seite 15-16: Ein unersetzliches Hilfsmittel für die Arbeit mit Skalarprodukten ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, die jetzt auf dem Programm steht. Als erste Anwendung zeigen wir den Kosinussatz mit Hilfe der Ungleichung.
Seite 17-18: Zwar definiert jedes Skalarprodukt eine Norm, aber man erhält nicht jede Norm auf diese Weise, sondern nur diejenigen, die die Parallelogrammgleichung erfüllen.
Seite 19: Eine wichtige Norm ist die sogenannte Operatornorm von Matrizen, die wir hier kurz beleuchten.
Seite 20: In diesem – sehr langen – Teil der Vorlesung lernen wir neben einigen Anwendungen recht „obskurer“ Skalarprodukte nebenbei noch das Gram-Schmidt-Verfahren kennen.