In dieser Woche fängt die Lineare Algebra erst so richtig an. Wir wollen uns im ersten Kapitel dem Gaußalgorithmus (den wir bereits in der letzten Übung anhand eines Beispiels kennengelernt haben) widmen. Hierzu legen wir den Begriff eines „linearen Gleichungssystems“ fest und sehen uns an, welche Umformungen eines solchen Systems den Lösungsraum nicht ändert.
Bei der Besprechung dieser Umformungen werden wir dann sehen, in welchen „Rechenbereichen“ diese eigentlich funktionieren. Dies führt zum Begriff des Körpers, der in der Vorlesung eine prominente Rolle spielen wird. Zwei Beispiele eines Körpers kennen wir bereits aus der Schule, nämlich den Rechenbereich der rationalen Zahlen und den der reellen Zahlen. In der Übung werden wir den Körper der komplexen Zahlen kennenlernen. Außerdem wird uns ein sehr kurioser Rechenbereich über den Weg laufen, in dem es nur zwei Zahlen gibt. Trotzdem handelt es sich auch hierbei um einen Körper, und dieser taucht in Anwendungen auch auf.
Vorlesung
Seite 01: Eine kleine Wiederholung erinnert an den Stoff der letzten Übung: Lineare Gleichungssysteme. Und diese stehen in diesem Kapitel im Mittelpunkt des Geschehens.
Seite 02: Der Begriff lineare Gleichung wird geklärt. Dabei wollen wir den zugrundeliegenden „Rechenbereich“ so allgemein wie möglich fassen. Dies geschieht ein wenig später durch die Festlegung des Begriffs des „Körpers“.
Seite 03: Auf dieser Seite geht es um die Begriffe lineares Gleichungssystem und Lösungsraum.
Seite 04: Ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann man geometrisch als Schnitt zweier Geraden in der Ebene auffassen.
Seite 05: Wir beginnen mit der Beantwortung der Frage, welche Umformungen man eigentlich mit so einem linearen Gleichungssystem durchführen darf, ohne dass sich der Lösungsraum ändert. Zwei der erlaubten Umformungen sind auf dieser Seite zu finden: Das Vertauschen von Gleichungen und das Multiplizieren einer Gleichung mit einer von 0 verschiedenen Zahl.
Seite 06: Wir zeigen, dass Multiplikation einer Gleichung mit einer von 0 verschiedenen Zahl wirklich den Lösungsraum nicht verändert. Dabei – und das ist das eigentlich i Interessante – notieren wir, welche Rechenregeln für die Addition und Multiplikation von Zahlen für den Nachweis erforderlich sind.
Seite 07: Die dritte erlaubte Umformung für lineare Gleichungssysteme ist dass Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile, wofür wir noch weitere Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation benötigen.
Seite 08: Die für die „erlaubten Umformungen“ benötigten Rechenregeln für die Addition und Multiplikation führen direkt zum Begriff Körper: ein Rechenbereich, in dem der Gaußalgorithmus funktioniert.
Seite 09: Zwischen Vorlesung und Übung lernen wir einen neuen Begriff, nämlich den der Menge.
Übungen
Seite 10 (Übung): Nachdem bereits die Rechenbereiche der rationalen bzw. der reellen Zahlen sich als Körper erwiesen haben, wollen wir hier ein (zunächst) etwas esoterische anmutendes Beispiel erarbeiten – einen Körper, der lediglich zwei Elemente besitzt.
Seite 11 (Übung): Wir interpretieren den Körper mit zwei Elementen auf zwei verschiedene Weisen.
Seite 12 (Übung): Wir führen den überaus wichtigen Körper der komplexen Zahlen ein. Eine geometrische Interpretation komplexer Zahlen als Punkte der Gaußschen Zahlenebene wird dabei ebenfalls angesprochen.
Seite 13 (Übung): Wir rechnen Beispiele zur Addition / Multiplikation komplexer Zahlen sowie die Lösung quadratischer Gleichungen durch komplexe Zahlen.
Seite 14 (Übung): Wir starten den Nachweis für die Gültigkeit der Körperaxiome.
Seite 15 (Übung): Die Existenz multiplikativer Inverser ist das einzig wirklich interessante Rechengesetz in den komplexen Zahlen – wir lernen, wie wir komplexe Zahlen dividieren.
Seite 16 (Hausaufgabe): Auf dem Speiseplan stehen heute drei lineare Gleichungssysteme über verschiedenen Körpern.